Высшая математика Учебное пособие для студентов

Введение

1. Функции и их графики
   • Основные обозначения и определения
   • Первый способ задания функции: табличный
   • Второй способ задания функции: с помощью формулы
   • Обзор некоторых элементарных функций
   • Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
   • Композиция функций
   • Обратная функция
   • Упражнения
   
   
2. Пределы
   • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
   • Общее определение предела
   • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
   • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
   • Общие свойства пределов
   • Первый и второй замечательные пределы
   • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
   • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
   • Сравнение бесконечно малых
   • Таблица эквивалентных бесконечно малых при
   • Упражнения на вычисление пределов

   Лекции курсовые задачи чертежи лабораторные математика физика ТОЭ информатика

   
   
3. Непрерывность функций и точки разрыва
   • Определение непрерывности функции
   • Определение точек разрыва
   • Свойства функций, непрерывных в точке
   • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
   • Равномерная непрерывность
   • Непрерывность обратной функции
   • Гиперболические функции и ареа-функции
   • Примеры и упражнения
   • Предел последовательности
   
   
4. Производные и дифференциалы
   • Мгновенная скорость при прямолинейном движении
   • Касательная к кривой на плоскости
   • Производная
   • Свойства производных
   • Производные некоторых элементарных функций
   • Дифференциал
   • Производная композиции
   • Инвариантность дифференциала
   • Производная обратной функции
   • Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
   • Сводка основных результатов о производных
   • Производные высших порядков
   • Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
   • Производные функции, заданной параметрически
   • Производная функции, заданной неявно
   • Приближённое вычисление производных
   • Примеры и упражнения
   
   
5. Свойства дифференцируемых функций
   • Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
   • Правило Лопиталя
   • Сравнение бесконечно больших величин
   
   
6. Формула Тейлора
   • Многочлен Тейлора
   • Остаток в формуле Тейлора и его оценка
   • Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
   • Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
   • Упражнения
   
   
7. Исследование функций и построение графиков
   • Асимптоты графика функции
   • Возрастание и убывание функции
   • Экстремум функции и необходимое условие экстремума
   • Достаточные условия локального экстремума
   • Выпуклость функции
   • Общая схема исследования функции и построения её графика
   • Примеры исследования функций и построения графиков
   • Упражнения и задачи
   
   
8. Кривизна плоской кривой
   • Кривизна графика функции
   • Вершины кривых
   • Радиус кривизны
   • Упражнения
   
   
9. Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
   • Отделение корней
   • Метод простого перебора
   • Метод половинного деления
   • Метод простых итераций
   • Метод секущих
   • Метод одной касательной
   • Метод Ньютона (метод касательных)
   • Метод хорд (метод линейной интерполяции)
   • Приближённое нахождение точки экстремума
   • Метод простого перебора
   • Метод почти половинного деления
   • Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
   • Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
   • Упражнения
     
10. Векторная алгебра
    • Определение вектора
    • Операции над векторами
    • Разложение вектора по базису
    • Линейная зависимость векторов
    • Система координат и координаты вектора
    • Проекции вектора
    • Скалярное произведение
    • Векторное произведение
    • Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
    • Смешанное произведение
    • Нахождение координат вектора в произвольном базисе
    
    
11. Прямые линии и плоскости
    • Уравнение поверхности
    • Уравнение плоскости
    • Изображение плоскости
      • Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
      • Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
      • Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
      • Два коэффициента при переменных равны нулю
      
      
    • Угол между плоскостями
    • Расстояние от точки до плоскости
    • Прямая на плоскости
    • Прямая в пространстве
    • Основные задачи на прямую и плоскость
    
    
12. Кривые второго порядка
    • Окружность
    • Эллипс
    • Гипербола
    • Парабола
    • Параллельный перенос системы координат
      
13. Поверхности второго порядка
    • Сфера
    • Эллипсоид
    • Гиперболоиды
    • Конус
    • Параболоиды
    • Цилиндры
    • Параллельный перенос системы координат
    
    
14. Матрицы
    • Определение, обозначения и типы матриц
    • Сложение матриц и умножение на число
    • Символ суммирования
    • Умножение матриц
    • Транспонирование матрицы
    • Определители
    • Обратная матрица
    • Ранг матрицы
    
    
15. Системы линейных уравнений
    • Правило Крамера
    • Существование решения системы линейных уравнений общего вида
    • Однородная система уравнений
    • Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
    • Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)
    
    
16. Алгебраические структуры
    • Группы
    • Кольца
    • Поля
    
    
17. Комплексные числа
    • Построение поля комплексных чисел
    • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
    • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
    • Тригонометрическая форма комплексного числа
    • Показательная форма комплексного числа
    • Извлечение корня из комплексного числа
    • Корни многочленов
    
    
18. Многомерные пространства
    • Линейные пространства
      • Определение и примеры
      • Базис и размерность пространства
      • Координаты векторов
      • Изменение координат вектора при изменении базиса
      
      
    • Евклидово пространство
    • Аффинное -мерное пространство
    
    
19. Линейные преобразования
    • Определение и примеры
    • Матрица линейного преобразования
    • Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
    • Собственные числа и собственные векторы
    • Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
    • Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
    • Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
    
    
20. Библиографический список